Gravitasjonstog er et morsomt konsept som jeg trodde jeg hadde skrevet om før. Det ser imidlertid ut til at det ikke er tilfelle, så da synes jeg det er på tide. Idéen går rett og slett ut på at man borrer en tunnel (eller en tunell, begge er visst lov, i følge ordbok.no) i en rett linje gjennom jorden, og så lager man togskinner i tunnelen, og så lar man tyngdekraften gjøre jobben.



Det er altså inntil videre science fiction vi snakker om her, ettersom det er visse utfordringer knyttet til å bygge en slik tunnel, men det som er litt kult er at vi ganske enkelt kan finne ut hvor lang tid turen vil ta. Hvis vi ser bort fra friksjon er det bare tyngdekraften som virker på toget vårt, og den er gitt ved



Rho er her massetettheten til Jorden. Vi er imidlertid bare interessert i kraften som virker langs tunnelen, så hvis vi sier at tunnelen ligger parallellt med x-aksen, og at x er avstanden fra sentrum av tunnelen, får vi følgende uttrykk for akselerasjonen:



Med andre ord en differensialligning, som vi kan løse ganske lett. Vi vet at akselerasjonen skal være null når toget er i midten av tunnelen, og da kommer vi fort frem til



Her ser vi hva som er så interessant med denne idéen. Tiden det tar for toget å bevege seg gjennom tunnelen er avhengig av uttrykket som står inni sinusen, og vi merker oss at det kun er avhengig av gravitasjonskonstanten, og tettheten til Jorden. Hvis vi regner det ut får vi



Det tar altså 2531 sekunder, eller litt over 42 minutter, uansett hvor vi reiser fra og til, såfremt tunnelen går i en rett linje, og toget kan bevege seg uten friksjon. Og ikke bare tar det like lang tid uansett hvor man reiser på Jorden, hvis vi skulle finne en planet med samme massetetthet som Jorden vil det jaggu ta like lang tid da også, uavhengig av hvor stor den er. Funky? Skulle vi finne på å bygge noe slikt på Månen, som er mer sannsynlig, siden den hverken har atmosfære eller flytende kjerne, vil turen ta 52 minutter.

Opprinnelig hadde jeg skrevet ligningene i denne artikkelen i mathml, konvertert fra LaTeX ved hjelp av dette hendige verktøyet. Dessverre viste det seg å funke dårlig å sakse inn den resulterende koden direkte i artikkelen her, så det blir bilder fra LaTeXiT i stedet. Jeg filosoferer imidlertid over muligheten for å pakke inn noe slikt i nye calcuttagutta. Den som lever får se.

-Tor Nordam